下图所示的设计实例是迭代单峰映射的一种简单实现,让人想起研究非线性动力学时遇到的逻辑斯谛映射或费尔哈斯(Verhulst)映射。它可以用来向学生展示混沌离散时间动力学,或作为随机数发生器。具体的电路实现是:Vk+1 = rF(Vk),其中F是用图中灰线框内的电路实现的非线性单峰函数(一个“凸块”)。这个电路的响应显示在Vout与Vin关系图中。

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图1:Q1单峰函数电路的响应

r是U1b提供的增益因子。U1a和U3a只是缓冲器。在时钟信号的低电平期间,这个非线性函数的输出电压存储在C1上。当时钟切换到高电平时,这个电压将被传递到C2,然后用作单峰函数的下一个输入。电路的供电电压是12V。S3 (¼ 4066)用作反相器。

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图2:原理图

在低增益设置(r)情况下,迭代将初始的零电压作为稳定平衡态:V* = rF(V*)。通过提高增益,电路从稳定平衡态转向n周期振荡。n周期振荡的迭代反复可以看作n次迭代映射的平衡态,比如对3周期振荡来说V* =rF(rF(rF(V*)))。第一个示波器的屏幕截图显示了r=4.7时的情况。

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图3:r=4.7时的行为(红线:Vk,蓝线:时钟)

进一步提高增益将导致混沌现象。理论上每个初始状态或起始电压都将导致永不重复的迭代顺序。对这种迭代式混沌系统来说逻辑斯谛映射xn+1 = rxn(1-xn)是已知最好的模型,它使用的是抛物线函数。然而事实表明,任何单峰映射,包括像模映射这样的非连续映射或像帐篷映射那样的非平滑映射,都会导致混沌现象,因此需要使用晶体管Q1周边的简单电路。

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图4:r=6.7时的行为,需要将示波器持续时间设为无限,并在尽可能接近所获电压峰值时触发

图4显示了确定性混沌事件的关键属性:对初始状态的敏感依赖。接近(但稍稍不等于)的起始条件(触发电压)在经过几次更新后将导致分散的迭代序列。一般来讲,存在一种“事件视界”。预测下一次迭代很容易,但预测当前状态之后的第二十次迭代几乎是不可能的,因为我们到时必须很精确地知道起始条件。重要的是,即使这个系统可以做到没有噪声(就像理论上的逻辑斯谛映射一样),它还是会输出一个混沌序列。

至于应用,这个电路可以用作随机数发生器,混沌现象的真实演示器,还可以让那些声称啥电路都见过的书呆子们开开眼。

《电子技术设计》2016年12月刊版权所有,谢绝转载。

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