为了完成之前的文章中提出的金属中传导电子的情况的实验(测量半导体中电子和空穴的有效质量)，有必要引入索末菲模型。
在Drude-Lorentz模型中，金属(或半导体价带)的传导电子构成了一种“理想气体”，这使得我们可以将气体动力学理论应用于这一物理系统。确切地说，根据构成气体的粒子速度的麦克斯韦-玻尔兹曼分布，很容易计算出平均平方速度：
其中：⟨·⟩表示统计平均值，kB表示玻尔兹曼常数，T表示统计平衡温度(即热力学平衡)，m表示单个粒子的质量(在本例中，m=me表示电子的质量)。例如，室温(300K)下铜的均方根速度约为1.2×105m/s。需要注意的是，这并不意味着在没有外场的情况下存在电子流，因为公式(1)来自平均运算，其中显示的是各个速度的模量，而不是方向。
在之前的文章中，我们已经观察到单个电子的矢量速度是随机分布的，因此电荷的净流量为零。关于碰撞，动力学理论中的理想气体模型与Drude-Lorentz模型有所不同，因为前者仅考虑弹性粒子与粒子和粒子与容器之间的碰撞，而后者考虑非弹性电子与晶格的碰撞。不过，这两个模型有一个共同点——平均自由程，即粒子在两次连续碰撞之间行进的平均距离Λ。就电子而言：
这里τr是弛豫时间，它是两次连续碰撞之间的平均时间间隔。再让我们回顾一下电导率的表达式：
其中e是电子电荷的绝对值，n是电子浓度(单位体积内的电子数)。对于大多数金属(以及半导体)，电阻率ρ是已知的，它是σ的倒数，因此，已知n，通过公式(3)可以确定τr。对于铜，n为2.4×10−14s。通过公式(2)，我们可以计算出Λ约为30埃，相当于10个晶格间距。
用Drude-Lorentz模型得出的铜的传导电子平均自由程的数值不仅与铜的实验数据相矛盾，而且与所有贵金属(如银、金、铜)和碱金属(如锂、钠、钾、铯、铷)的实验数据相矛盾，Λ大约是晶格间距的108或109倍。
因此，Drude-Lorentz模型虽然能给出正确的σ值，但却给出了异常的Λ值。另一方面，该模型最早可以追溯到19世纪末，是一个经典的自由电子模型，因为它忽略了晶体离子所施加的势能。然而，有效质量的引入使我们可以将电子视为不受外力作用的经典粒子(除非施加外部电场)。
Λ值较高的一个可能解释是量子力学和布洛赫定理。根据该定理，与传导电子相关的物质波(电子波)不是德布罗意波，而是布洛赫波，即振幅调制包络具有晶格周期性的平面波。这种周期性使我们能够只考虑晶格中的一个单元，而传播矢量为k的平面波则表现得像整个晶格中电子的导波。
1928年，Felix Bloch在他的博士论文中提出了这个问题，并证明了该定理：主要问题是解释电子如何在金属的所有离子之间滑动，从而避免产生原子间距离数量级的平均自由程。历史趣闻：第二次世界大战后，布洛赫移居美国，随后的几年里，Douglas Hofstadter成为他的学生。七十年代，Hofstadter在他的博士论文中证明，在强磁场作用下，二维金属的传导电子所允许的能级不会形成带结构，而是构成一种被称为霍夫施塔特蝴蝶的分形。
方程(2)中的误差可能来源于计算vrqm和测量τr，或两者兼而有之。弛豫时间测量的结果接近物理现实，因此误差在于均方速度，因为麦克斯韦-玻尔兹曼统计数据不是金属电子的正确框架。德国物理学家阿诺德·索末菲(Arnold Sommerfeld图1)只从统计学角度进行论证，忽略掉量子部分(布洛赫波)，于1930年提出了他的模型，该模型基于费米-狄拉克统计数据，而不是麦克斯韦-玻尔兹曼统计数据。电子被视为自由粒子，其动力学属于牛顿力学，因此，这是一个半经典模型。
图1：Arnold Sommerfeld (1868-1951)(来源：维基百科)
让我们从广义上总结一下费米-狄拉克统计量，电子具有半奇数自旋(1/2)是费米子，其能量分布遵循泡利不相容原理的统计量，因此，每个量子态只能被一个电子占据，倾向于通过一种非库仑性质的“力”相互排斥。通过逐渐降低电子气(以及被测金属的温度)的温度，电子倾向于占据能量较低的态。
然而，由于不相容原理，它们不能集中在一个单一状态，就导致结果是一系列能量不断增加的状态，每个状态都由一个电子占据。在绝对零度下，最高能级具有能量εF(费米能量)，这个量不能忽略不计，因为它取决于单位体积内电子的数量n，而我们知道，金属的特点是n值很高。通常，εF用温度TF=εF/kB表示费米温度。在金属中，TF可达6000K，因此，在室温下T0=300K，我们发现所有态都被占据，最高能量为εF=kBTF，这远大于热能kBT0。这意味着只有能量接近εF的电子才能跃迁到ε>εF能级，因为占据较低能级的电子需要更大的热能。
根据牛顿第二定律，电子的动力学是自由粒子的动力学，因此参与电导过程的电子以如下速度移动：
对于铜，我们利用麦克斯韦-玻尔兹曼统计数据得出vrqm=1.2×105m/s。对于同一种金属，方程(4)得出vF=1.6×106m/s，重新定义平均自由程ΛF=vFτr，可得出ΛF约为102个晶格间距。
与Drude-Lorentz模型相比，索末菲模型迈出了决定性的一步。然而，由于自由电子模型的局限性，金属的某些性质仍然无法解释。
(原文刊登于EDN姊妹网站Power Electronics News，参考链接：Scientific Notes on Power Electronics: Electrical Conductivity in Metals – The Sommerfeld Model，由Ricardo Xie编译。)
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