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电力电子科学笔记:费米-狄拉克积分和焦易斯-帝克耸近似

2024-05-10 16:59:20 Marcello Colozzo 阅读:
从确定AlGaN/GaN异质结构中的电子浓度到计算HEMT中的AlGaN/GaN的电流密度,对费米-狄拉克积分的研究十分有意义。

从确定AlGaN/GaN异质结构中的电子浓度到计算高电子迁移率晶体管(HEMT)中的AlGaN/GaN的电流密度,对费米-狄拉克积分的研究十分有意义。Ympednc

量子浓度

在所有半导体(本征半导体或外征半导体)中,导带中的电子数由下式给出:Ympednc

Ympednc

其中,ge(ε)是态密度(也考虑了自旋自由度)。正如前面的文章所确定的,在半导体中,电子气是非退化的。这种情况在数学上可以转化为经典极限:Ympednc

Ympednc

这样我们就可以对积分(1)进行近似计算,因此电子浓度为:Ympednc

Ympednc

考虑方程(2),我们有:Ympednc

Ympednc

因此,导带中的电子气体极度稀疏。这并不奇怪,因为在相反的情况下,由于单电子波函数的叠加而产生的量子效应不再可以忽略不计,从而导致与经典行为的偏差,并因此导致气体的退化。这些论据表明,方程(4)的第二项就是量子浓度。所以:Ympednc

Ympednc

我们得出的结论是,在半导体中,电子浓度永远不会超过量子浓度。更准确地说,当n(T)>nc(T)时,电子气会失去稀疏性,半导体的行为会趋向于金属。我们是从确定化学势µ(T)的数值仿真中推断出这一切的。Ympednc

费米-狄拉克积分(FDI)

准确地表达一下n(T),如下所示:Ympednc

Ympednc

遵循理论物理学的标准方法,我们将物理变量(ε,µ)转换为无量纲变量(t,x),从而将问题无量纲化,定义如下:Ympednc

Ympednc

经过简单的计算后:Ympednc

Ympednc

其中:Ympednc

Ympednc

是½阶费米-狄拉克积分,或更简单地说,费米-狄拉克积分(FDI)。等式(9)是以下的一个特例:Ympednc

Ympednc

称为费米-狄拉克积分o forder l。Ympednc

从方程(8)我们可以看出,FDI小于1.1量级的乘法因子,即电子浓度在量子浓度上的归一化,因此它是一个通用函数,可以描述任何纯半导体,无论电子的有效质量值是多少。请注意,FDI通过变量x与温度相关联,该变量在文献中通常用η表示(根据热能kBT归一化的化学势)。在经典极限−x≪1中,我们可以写:Ympednc

Ympednc

将电子浓度归一化为量子浓度,即通过变量r=n/nc,我们可以得到两种不同的表示方法:Ympednc

温度域(T):Ympednc

Ympednc

化学势域(x):Ympednc

Ympednc

基于收敛准则,不难证明以下定理:Ympednc

定理1:当l>-1时,l阶费米-狄拉克积分收敛。Ympednc

对于l<–1,被积分的函数虽然不可求和,但仍然可以积分,因为它在积分域中符号恒定。Ympednc

Lerch超越函数(LTF)

费米-狄拉克积分可以简化为:Ympednc

Ympednc

当然,即使是二元积分也不是简单可表达的。不过,让我们研究一下x的极值行为。当l>1时,积分均匀收敛,因此我们可以在积分符号下进行极限的操作:Ympednc

Ympednc

其中,Γ是欧拉伽马函数。所以,我们有:Ympednc

Ympednc

因此,渐近行为:Ympednc

Ympednc

这就是方程(11)的经典极限的推广。存在以下表示:Ympednc

Ympednc

其中Φ是Lerch超越函数。这是一个复变量(w)的函数,参数取决于复数s和正整数a。对于费米-狄拉克积分,我们有:Ympednc

Ympednc

上述函数均在Mathematica中,因此积分Fl(x)在此环境下很容易计算,无需采用复杂的数值方法。在图1中,我们以对数报告了其中一些积分的趋势。Lerch函数还包含其他有趣的信息。Ympednc

Ympednc

图1:从l=1/2开始,随着l增加,Fl(x)的一些积分Ympednc

l=1/2时的方程(19)得出以下结果:Ympednc

Ympednc

将ϕ(x)绘制在图2中。因此我们可以写:Ympednc

Ympednc

第一个不等式意味着半导体(或任何情况下的金属)导带中的电子浓度受到化学势x指数的限制,但不会呈指数增长。第二个不等式告诉我们,与金属不同,在半导体中,电子浓度随着化学势呈指数增长。Ympednc

Ympednc

图2:函数ϕ(x)的图形,它是带有参数ex且参数l=1/2,a=1的LTF函数Ympednc

半导体与金属的区别焦易斯-帝克耸系列

对于上述情况,在量子浓度上归一化的电子浓度的精确表达式由式(13)给出,在经典极限中,该表达式由玻尔兹曼分布r=ex近似,其中的符号意义显而易见:Ympednc

Ympednc

1977年,Joyce(焦易斯)和Dixon(帝克耸)用r的幂级数计算出了精确值x和近似值xBoltz之间的差值:Ympednc

Ympednc

该级数迅速收敛,因此在最小非零阶下,我们有:Ympednc

Ympednc

然后,通过Mathematica内置的兰伯特函数的推广对(24)求逆后,我们就可以以对数尺度绘制玻尔兹曼分布和与最小非零阶的焦易斯-帝克耸近似相比的准确趋势(图3)。Ympednc

Ympednc

图3:半导体、金属和半金属之间的区别Ympednc

结论

通过对费米-狄拉克积分特性的介绍,我们可以对更现实的情况进行有趣的概括研究,例如:Ympednc

  • AlGaN/GaN异质结构中的电子浓度。
  • 硅MOSFET中电荷分布的量子力学仿真。
  • 硅纳米线中的线性电子密度。
  • 计算CdS器件的归一化电荷,旨在确定热化电子和空穴的化学势。
  • HEMT中AlGaN/GaN电流密度的计算。

(原文刊登于EDN姊妹网站Power Electronics News,参考链接:Scientific Notes on Power Electronics: The Fermi-Dirac integral and the Joyce-Dixon approximation,由Ricardo Xie编译。)Ympednc

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电力电子科学笔记系列Ympednc

责编:Ricardo
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