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电力电子科学笔记:半导体——量子物理toy model

2024-09-29 17:19:36 Marcello Colozzo 阅读:
在本文中,我们将研究一种能够区分绝缘体与金属和半导体行为的一维晶体模型。

在本文中,我们将研究一种一维晶体模型,该模型能够区分绝缘体的行为与金属和半导体的行为。在后者中,电导是通过隧穿过程而不是通过破坏共价键来实现的。eGvednc

简介

在Born-Oppenheimer近似(玻恩–奥本海默近似)的研究中,我们发现在任何固体(绝缘体、导体、半导体)中,电子的运动都可以与原子核(或正离子)的运动分离。在第一步近似中,我们认为原子核在各自的晶格位置上是刚性静止的。eGvednc

周期性和对称性

在理想晶体中,原子核周期性地分布在三维晶格结构上,而在一维情况下,原子核则分布在一条直线上。后一种情况尽管不符合物理现实,但却是一种极好的研究工具,原因有二:1)数学形式更简单;2)可以直接推广到三维情况。eGvednc

原子核正电荷的周期性分布决定了势能,该势能用周期为a的周期函数V(x)表示,后者为晶格间距。在固体物理学中,一般的周期区间[na,(n+1)a]称为晶胞,其中n为任意相对整数。eGvednc

周期性无非就是“平移对称性”。众所周知,物理学中的对称性概念之所以重要,不仅因为它可以转化为与指定对称性相关的物理量的守恒,还因为它有助于寻找控制所研究物理过程的微分方程的解。在量子力学中,对称性起着更为深远的作用,例如,正如我们在之前文章中看到的,在晶格的情况下,平移对称性给出了布洛赫定理,根据该定理,“电子波”的振幅被调制,而调制包络具有晶格的周期性。这里所说的“电子波”是指能量的本征函数,即对应于指定能量的单个电子波函数。eGvednc

绝缘体

图1显示了与原子核所在晶格位点x=na相对应的趋向于+∞的势能图。根据经典力学,单个电子被限制在指定的晶胞[na,(n+1)a]中,因为它没有足够的能量来克服无限高的势垒。从量子角度来看,我们也有类似的行为,因为与电子相关的概率波由于其无限大的值而无法跨越势垒。它为我们提供了局部信息,即与给定晶胞有关的信息,我们很容易确信它是一个驻波。根据波传播理论,我们知道相应的频率是量化的,单个电子的能级也是如此。eGvednc

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图1:表征绝缘体行为的势能V(x)eGvednc

在图2中,我们报告了在势能V(x)由一系列狄拉克函数给出的特殊情况下(图3),限制在晶胞[0,a]中的电子的第二激发能级所对应的波函数趋势。选择此特定势能而不是图1中的势能对于以封闭形式(时间无关的薛定谔方程)求解相应的特征值微分方程至关重要。相比之下,图1势能的特征值方程只能进行数值积分。eGvednc

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图2:受限于晶胞[0,a]中的电子所占据的第二激发能级的波函数eGvednc

我们得出结论,图1中的势能模拟了一维绝缘体,因为电子与其各自的原子核牢固地结合在一起,并且即使是无限的能量也无法打破这种键。eGvednc

金属

可以通过“降低”图1中绘制的势垒来仿真一维金属的行为。然而,为了以封闭形式求解特征值方程,最好参考图3中的势垒。为此,我们将势垒定义如下:eGvednc

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图3:实现周期势的狄拉克函数序列eGvednc

实数b是一个具有长度量纲的参数,它控制势垒的高度:b→0的极限重现了图3的趋势。因此,假设b为有限值,则相当于将势垒从+∞降低到W0/2b。图4表示势能图。eGvednc

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图4:势能Vb(x)eGvednc

图5显示了晶胞[0,a]中的Vb(x)图。势能(1)是L. Kronig和W.G. Penney提出的模型的一种变体,用于获得金属传导的基本特征:能量值E>W0/2b对应于扩散态,对于该扩散态,布洛赫波从−∞传播到+∞,重现了金属中电子的典型行为。 eGvednc

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图5:[0,a]中的势能Vb(x)eGvednc

紧束缚近似——半导体和过渡金属的情况

势能(1)还仿真了半导体和过渡金属的行为。为此,只需假设参数b的值低于金属的值即可。这相当于“提高”了势垒,因此建立了更多能量为0<E<W0/2b的束缚态。eGvednc

然而,势垒不是无限高的,因此我们预计在指定晶胞[na,(n+1)a]与相邻晶胞之间发生隧穿过程。原则上,非相邻晶胞之间也可以建立该过程,然而,在所谓的紧束缚模型中,假设b的值使得仅在相邻晶胞之间建立隧穿过程。与求解势能Vb(x)的薛定谔方程相比,更好的方法是对哈密顿量的矩阵元素进行研究,如[2]所建议的那样,得到单个电子能量的表达式:eGvednc

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相应的图形如图6所示。在方程(2)中,量k充当布洛赫波函数的“标签”,具有多个波的量纲。量Δ>0则具有能量量纲,用于测量与绝缘体行为(无限高的势垒)的偏差。能量Er0是束缚态(Δ=0)的特征值之一,r0是相应的量子数(r0=0、1、2、…)。eGvednc

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图6:E(k)的趋势eGvednc

我们观察到函数E(k)是周期为2Π/a的周期函数,因此最好将其限制在区间(-Π/a, Π/a)内,在固体物理学中,该区间被称为第一布里渊区(或简称为布里渊区)。eGvednc

极限Δ→0重现了b→0无限高的势垒。在紧束缚近似中,E(k)并不取决于V(x)的形状,而只取决于Δ。因此我们看到,当Δ>0时,允许的能级形成连续带[Er0−2Δ,Er0+2Δ]。于是,我们有无限个单电子态,每个态都用k标识,因此k成为一个“好量子数”。这些态根据费米-狄拉克统计量填充,众所周知,它按照泡利不相容原理重现了占据能级的热力学分布,根据该原理,每个状态k最多可以被两个具有反向平行自旋的电子占据。eGvednc

结论

一维晶体的研究不仅对于理解载流子的量子行为很有意义,而且对于“准周期”晶体的可能扩展也很有意义,对于这种晶体,通过平移破坏对称性会带来新的特性,例如所谓的拓扑绝缘体。eGvednc

(原文刊登于EDN姊妹网站Power Electronics News,参考链接:Scientific Notes on Power Electronics: Semiconductors – A quantum physics toy model,由Ricardo Xie编译。)eGvednc

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责编:Ricardo
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